EJEMPLO DE EJERCICIOS CON EL METODO GRAFICO

METODO GRAFICO
Este método implementa la solución con el método grafico que consiste en graficar los datos del modelo, las dediciones e toman de acuerdo al grafico.
MODELOS CON SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA.

El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de un cliente.

Las variables X1 y X2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar, para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de acciones.

El monto total disponible para invertir es de $80.000, es una medida relativa de las dos inversiones alternativas.

La acción Tipo 1 es una inversión más riesgosa.

Limitando el riesgo total para la cartera, la firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo.
También se limita el monto de acciones de mayor riesgo.

Max 3X1+ 5X2 (Retorno anual en $)
Sujeto a:
25 X1 + 50 X2 <=80.000 $ de fondos disponibles
0.5 X1 + 0.25 X2 <=700 riesgo máximo
1 X1 <=1.000 acciones Tipo 1
X1, X2>=0

Considerando los datos del modelo formulado del problema se tiene que realizar lo siguiente

a) Graficar las restricciones:

Restricción 1:
Cuando X1 = 0 Entonces X2 = 1.600
Cuando X2 = 0 Entonces X1 = 3.200
Estas son las coordenadas para unir los puntos ( 3.200,0) y ( 0,1.600 ).
El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.

Restricción 2:
Cuando X1 = 0 Entonces X2 = 2.800
Cuando X2 = 0 Entonces X1 = 1.400
Estas son las coordenadas para unir los puntos ( 1.400, 0) y ( 0, 2.800).
El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.

Restricción 3:
X1 = 1.000 y X2 = 0 Es una recta que parte de la abscisa en el punto 1.000.
El lado de la restricción “ < “ se tiene, a partir de esa recta, hacia el lado donde está el punto de origen.

b) Grafique la Función Objetivo asignándole un valor arbitrario. Este valor, preferiblemente,
debe permitir que el objetivo se muestre en la región solución. Por ejemplo, puede ser
utilizado el valor 3.000.

Los puntos de corteen los ejes, para graficarla, son los puntos ( 1.000, 0 ) y ( 0, 600).
La Función Objetivo se grafica con línea de color, en este caso, para diferenciarla de las restricciones.

c) Mueva la Función Objetivo, paralelamente a sí misma en la dirección que incrementa su valor
(hacia arriba en este caso), hasta que toque el último (los últimos, si los toca al mismo tiempo) punto extremo de la región solución.

d) En ese punto extremo final, b en este caso, resuelva el par de ecuaciones que se interceptan. En este caso son las ecuaciones 1 y 2.

Utilice cualquiera de los métodos para resolver pares de ecuaciones lineales con dos variables.

e) Alternativamente, para determinar la solución óptima, puede calcular las coordenadas a todos los puntos extremos: a, b, c y d y e, en el conjunto convexo de soluciones.

Luego evalúa la Función Objetivo en cada uno de ellos, el punto extremo que proporcione el mayor valor será el punto extremo óptimo.

f) En ambos casos se obtiene la solución óptima en el punto extremo b con coordenadas
(800, 1.200).
Así, la solución óptima es X1 = 800 y X2 = 1.200.
Resolviendo en la Función Objetivo:
Max 3X1+ 5X2 Se obtiene: 3(800) + 5(1.200) = 8.400

PREGUNTAS CON RESPUESTA

¿Qué representa el coeficiente de la variable X2 en la Función Objetivo y en la segunda restricción?

En la Función Objetivo representa el retorno anual de cada acción Tipo 2 comprada, es decir cada acción Tipo 2 que se compre proporcionará un retorno anual de Bs. 5.

En la restricción 2, representa el riesgo medido para cada acción Tipo 2. Es decir, cada acción Tipo 2 tiene un riesgo de 0.25.

¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico?

Solución Única, porque hay una única combinación de acciones Tipo 1 y 2 a comprar que maximiza el retorno anual de la inversión y se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo proporciona el máximo valor para el objetivo. En este caso, el punto b.

¿Cuál es la decisión que se recomendaría con la solución encontrada?
Comprar 800 acciones Tipo 1 y 1.200 Acciones Tipo 2 para maximizar el ingreso anual en 8.400 unidades monetarias ($)

Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene.

Restricción 1: 25 (800) + 50 ( 1200) = 80.000
Se observa que se cumple exactamente, es decir como una igualdad.
Esto indica que con esa decisión óptima se utiliza totalmente el monto máximo de presupuesto disponible para la compra.

Restricción 2: 0.5 (800) + 0.25 ( 1200) = 700
Se observa que se cumple exactamente, es decir como una igualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se tendrá totalmente el monto máximo requerido de riesgo para la compra.

Restricción 3: 1 (800) = 800; 800 < 1.000 Se observa que se cumple como una desigualdad.
Esto indica que con esa decisión óptima se compran 800 acciones Tipo 1, 200 menos del monto
máximo requerido. Recuerde que eso está permitido debido que la restricción es “menor o igual a”.

En el gráfico puede observarse, como algo lógico, que las restricciones que se cumplen como igualdades están cruzando sobre el punto óptimo y las que se cumplen como desigualdades están en la región solución alejadas del punto óptimo.

FORMULACION DE UN MODELO LINEAL EJEMPLO 1.

Para realizar la construcción primero necesitamos la definición del problema :

Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Bolívares 700, cada unidad; B, Bolívares 3.500; C, Bolívares 7.000.

Para poder producir estas unidades se requieren :

Para producir las unidades de A se necesitan:

1 hora de trabajo

2 horas de acabado

3 unidades de materia prima.

Para producir las unidades de B se necesita:

2 horas de trabajo

3 horas de acabado

2.5 unidades de materia prima.

Para producir las unidades de C necesita:

3 horas de trabajo

1 hora de acabado

4 unidades de materia prima.

Para este período de planificación están disponibles:

100 horas de trabajo 200 horas de acabado 600 unidades de materia prima.

Para formular y construir el modelo, se tiene lo siguiente:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente.

En la computadora y dependiendo del programa que utilice, dispondrá de un mayor espacio diseñado para escritura que puede utilizar para nombrarlas convencionalmente.

X1: unidades a producir de producto AX2: unidades a producir de producto B

Estos son insumos controlablesX3: unidades a producir de producto C

b) Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal.

Objetivo: Maximizar ingresos de venta

Max 700 Bs. X1 Unid de A + 3.500 X2 + 7.000 X3
Para las unidades de A

Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus términos. Este término presenta la información específica de lo que contiene y permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso, ingreso en Bolívares.

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales.

Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.

(1 hora de trabajo /unidad A) X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 <=100 horas de trabajo

Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:

2X1 + (3 horas de acabado /unidad B)X2 (unid. de producto B) + 1 X3 <=200 horas de acabado

Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:

3X1 + 2.5 X2 + 4 (unid. de Materia prima/ unidad B) X3 (unid. de producto B) <=600 Unidades de Materia prima

De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Esto confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo del lado derecho de la ecuación.

Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión, se resume así el modelo:

Max 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3

Sujeto a:

X1 + 2 X2 + 3 X3<=1002

X1 + 3 X2 + 1 X3 <=2003

X1 + 2.5 X2 + 4 X3<=600

X1, X2, X3 >=0

Hasta aquí el problema a quedado formulado ahora lo que proseguirá se darle una solución adecuada implementado un método como el simplex dual etc.

MODELO DEFICIT

¿POR QUE SE INCREMENTA Q?


Q se incrementa por la demanda del producto pedido y la entrega del tiempo ,pero es de acuerdo al modelo que se esta implementado, por que hay que tener el almacen en condiciones que pueda cubrirse el deficit y se hace haciendo una orden de unidades que cubran esa produccion, estos productos pueden ser que su incremento se deba que si se debe manufactuarar o adquirir de un proveedor , ya que la diferencia puede ser el costo del producto , para sastifacer al comprador .

MODELOS DE INVENTARIOS

MODELOS D E INVENTARIOS

los modelos de inventarios tiene una importancia para las empresas que ofrecen unservicio o producto al mercado , estos inventarios tienen un costo , el cual se puede derivar de varias circunstancias del producto que esta almacenado .

Los costos asociados un inventario son :

Costo de ordenar o de produccion: es cuando hay que fectuar una orden de productos que pueden ser que estan proceso o no de produccion.

Costo unitario de compra:

este costo es originado por la compra de un producto al costo variable unitario= costos de materiales, mano de obra, maquinaria y utilidades del proveedor.

Costo de mantener unidades en inventario:

son los gatos que incurren en m,antenre determinado producto almacenado por detrminado tiempo .

Costos por escasez o mantencion de ordenes pendientes:
se origina a partir por la demanda del producto por un comprador que necesita ma sproducto y no se existe el sufuciente para esta venta , hay compradores que aceptan recibir el producto mas tarde de la fecha especificada y a esto se le denomina orden pendiente , en caso contrario se habla d eperdidas de ventas .

Existen muchos costos asociados a las ordenes pendientes,Ademas, la satisfaccion de ordenes conlleva a grandes gastos .

MODELOS DE INVENTARIOS

su objetivo es desarrollar soluciones ya dministrar correctamente un almacen de producto.

Ordenes repetitivas

La decision de ordenar es repetitiva , el inventario de un producto se efectua una orden, luego vuelve a emitir una orden.

Esta hipotesis no es adecuada en el caso de productos estacionales, como por ejemplo trajes de baño.

Demanda constante
Se asume que la demanda es conocida y ocurre a tasa constante, si la demanda
anual es D, la demanda diaria sera 365 dias , suponiendo que se vende todos los dias del año.

Lead Time constante
Por lead time (L) entenderemos en el tiempo transcurrido entre una emision de una orden y llegada del producto del mismo.

Ordenes continuas
es por medio de una orden en cualquier instante, el modelos de inventario con revision continua. Si esta revision del inventario se hace en intervalos regulares, entonces el modelos es con revision periodica.

Si la demanda es constante y lead time constante pueden ser altamente irreales
y restrictivas, existen muchas situaciones en las que estas consideraciones permiten obtener buenas aproximaciones respecto de la situacion real.

A continuacion se describe las caracteristicas de los modelos :

CARACTERISTICAS DE MODELOS DETERMINISTICOS

tiene las carcateriticas de que deben formulara un problema para la solucion del almacen.

requsitos para realizar EOQ:
1. La demanda es determinstica y ocurre a tasa constante.
2. Si una orden de cualquier tamaño Q es efectuada, se incurre en un costo de ordenar c0.
3. El lead time para cada orden es nulo.
4. No se acepta mantener ordenes pendientes.
5. El costo de mantener una unidad en inventario durante año es ch.

CARACTERISTICAS DE MODELO EOQ CON DESCUENTO

una situacion real, el precio de compra puede ser variable en funcion de la orden, existen descuentos segun la cantidad, el costo anual de compra o produccion depende del volumen demandado.

Si Q es la cantidad ordenada cada vez, el modelo general de descuento queda:
Si Q < bk =" 1,">

los puntos b1; b2; b3; : : : bk , hay un cambios del precio, se denominan puntos de devaluacion del precio del producto,debido a que los precios bajos estan asociado a grandes cantidades, se debe cumplir pk <>

CARACTERISTICAS MODELOS EOQ CON PRODUCCION
Es frecuente que los productos sean producidos, en lugar de ser adquiridos a un proveedor externo.

En partcular estos casos, todos los productos llegan a su destino una vez ordenados, puede ser irreal y se recurre a un modelo con produccion a tasa constante.

Al igual que el caso de EOQ estandar, se supondra que la demanda es determinstica y ocurre a tasa constante.

los productos son fabricados a una tasa p constante de unidades por unidad de tiempo (un año), durante un intervalo de tiempo de longitud t ,se producen exactamente pt unidades.

Sea:
Qp = numero de unidades producidas por produccion continua
cc = costo de cada produccion continua
ch = costo de mantener una unidad en inventario por un año
D = demanda anual por el producto
d = demanda por unidad de tiempo


En este caso, los unicos costos involucrados , relativos al costo de produccion y al de mantener unidades en inventario.

CARACTERISTICAS DE MODELO EOQ CON ORDENES DE PRODUCCION PENDIENTES
En situaciones reales la demanda del producto no puede ser satisfecha a tiempo, en cuyo caso ocurre una escasez, esta involucra costos adicionales por: perdida de negocios, ordenes especiales, etc.


En dichas situaciones es preciso modificar el modelo EOQ usual.

Sea cs el costo unitario de mantener los productos pendientes durante un año.


Los parametros co, ch,cp y D mantienen su sigficado usual.

En terminos generales, el valor de cs es muy variable para de estimarlo correctamente.
Para construir el modelo definimos:
Q = quantidad ordenada
S = quantidad maxima de unidades pendientes acumuladas

Se asume ademas que el lead time es nulo, cuando se emite una orden por Q unidades.
CARACTERISTICAS DE MODELOS PROBABILISTICOS

En general la demanda puede ser incierta o aleatoria, los modelos determinisco se modifican para que sean probabilisticos.


Modelo EOQ con Demanda Incierta
Se trabajara suponiendo que el lead time es no nulo y que la demanda durante dicho periodo de
tiempo es aleatoria.
Se mantienen las definiciones del EOQ, quedan de la siguiente forma:
c0 = costo de ordenar
ch = costo de almacenar una unidad durante un a~no
L = duracion del lead time
Q = cantidad ordenada

modificacion que se le agrega :
D = variable aleatoria (continua) que representa la demanda anual
cb = costo por unidad insatisfecha
ID(t) = nivel de inventario disponible en el isntante t
B(t) = cantidad de unidades pendientes en el instante t
I(t) = inventario neto en el instante t = ID(t) ¡ B(t)
R = punto de reorden

De esta forma quedra elmodelo probaibilistico para poder implementarlo.




CARACTERISTICAS DE MODELO EOQ DEMANDA INCIERTA
esta enfocado del nivel servicio para determinar la seguridad del inventario del producto, es muy dificil determinar en forma exacta el costo asociado a la escasez de
cada unidad.

Por esta razon, muchos administradores deciden controlar la escasez mediante la definicion de ciertos niveles de servicio.

Se describen dos niveles de servicio:

Nivel de Servicio 1 (SLM1), corresponde a la fraccion esperada (expresado como un porcentaje %) de la demanda que es satisfecha a tiempo.

Nivel de Servicio 2 (SLM2), el numero esperado de ciclos por año en los que ocurre escasez.

Para realizar el analisis correspondiente a este modelo , se supondra que se admiten ordenes pendientes.

Todos estos modelos son porpuesta para determinar una plaficiacion y desarrollo , relaciondas con el producto que s elamacena y el costo que tendra finalmente al mercado.

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