EJEMPLO DE EJERCICIOS CON EL METODO GRAFICO

METODO GRAFICO
Este método implementa la solución con el método grafico que consiste en graficar los datos del modelo, las dediciones e toman de acuerdo al grafico.
MODELOS CON SOLUCIÓN ÓPTIMA ÚNICA.

El modelo es formulado por una empresa asesora de inversiones para elaborar la cartera de un cliente.

Las variables X1 y X2 representan la cantidad de acciones Tipo 1 y 2 a comprar, para satisfacer el objetivo establecido de maximizar el retorno anual de esa inversión o compra de acciones.

El monto total disponible para invertir es de $80.000, es una medida relativa de las dos inversiones alternativas.

La acción Tipo 1 es una inversión más riesgosa.

Limitando el riesgo total para la cartera, la firma inversora evita colocar montos excesivos de la cartera en inversiones de retorno potencialmente alto pero de alto riesgo.
También se limita el monto de acciones de mayor riesgo.

Max 3X1+ 5X2 (Retorno anual en $)
Sujeto a:
25 X1 + 50 X2 <=80.000 $ de fondos disponibles
0.5 X1 + 0.25 X2 <=700 riesgo máximo
1 X1 <=1.000 acciones Tipo 1
X1, X2>=0

Considerando los datos del modelo formulado del problema se tiene que realizar lo siguiente

a) Graficar las restricciones:

Restricción 1:
Cuando X1 = 0 Entonces X2 = 1.600
Cuando X2 = 0 Entonces X1 = 3.200
Estas son las coordenadas para unir los puntos ( 3.200,0) y ( 0,1.600 ).
El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.

Restricción 2:
Cuando X1 = 0 Entonces X2 = 2.800
Cuando X2 = 0 Entonces X1 = 1.400
Estas son las coordenadas para unir los puntos ( 1.400, 0) y ( 0, 2.800).
El lado de la restricción “ < “ está bajo esa recta.

Restricción 3:
X1 = 1.000 y X2 = 0 Es una recta que parte de la abscisa en el punto 1.000.
El lado de la restricción “ < “ se tiene, a partir de esa recta, hacia el lado donde está el punto de origen.

b) Grafique la Función Objetivo asignándole un valor arbitrario. Este valor, preferiblemente,
debe permitir que el objetivo se muestre en la región solución. Por ejemplo, puede ser
utilizado el valor 3.000.

Los puntos de corteen los ejes, para graficarla, son los puntos ( 1.000, 0 ) y ( 0, 600).
La Función Objetivo se grafica con línea de color, en este caso, para diferenciarla de las restricciones.

c) Mueva la Función Objetivo, paralelamente a sí misma en la dirección que incrementa su valor
(hacia arriba en este caso), hasta que toque el último (los últimos, si los toca al mismo tiempo) punto extremo de la región solución.

d) En ese punto extremo final, b en este caso, resuelva el par de ecuaciones que se interceptan. En este caso son las ecuaciones 1 y 2.

Utilice cualquiera de los métodos para resolver pares de ecuaciones lineales con dos variables.

e) Alternativamente, para determinar la solución óptima, puede calcular las coordenadas a todos los puntos extremos: a, b, c y d y e, en el conjunto convexo de soluciones.

Luego evalúa la Función Objetivo en cada uno de ellos, el punto extremo que proporcione el mayor valor será el punto extremo óptimo.

f) En ambos casos se obtiene la solución óptima en el punto extremo b con coordenadas
(800, 1.200).
Así, la solución óptima es X1 = 800 y X2 = 1.200.
Resolviendo en la Función Objetivo:
Max 3X1+ 5X2 Se obtiene: 3(800) + 5(1.200) = 8.400

PREGUNTAS CON RESPUESTA

¿Qué representa el coeficiente de la variable X2 en la Función Objetivo y en la segunda restricción?

En la Función Objetivo representa el retorno anual de cada acción Tipo 2 comprada, es decir cada acción Tipo 2 que se compre proporcionará un retorno anual de Bs. 5.

En la restricción 2, representa el riesgo medido para cada acción Tipo 2. Es decir, cada acción Tipo 2 tiene un riesgo de 0.25.

¿Qué Tipo de solución presenta el modelo?, ¿Por qué? y ¿Cómo se reconoce en el gráfico?

Solución Única, porque hay una única combinación de acciones Tipo 1 y 2 a comprar que maximiza el retorno anual de la inversión y se reconoce en el gráfico porque un único punto extremo proporciona el máximo valor para el objetivo. En este caso, el punto b.

¿Cuál es la decisión que se recomendaría con la solución encontrada?
Comprar 800 acciones Tipo 1 y 1.200 Acciones Tipo 2 para maximizar el ingreso anual en 8.400 unidades monetarias ($)

Analice las restricciones en el punto óptimo y presente la información que se obtiene.

Restricción 1: 25 (800) + 50 ( 1200) = 80.000
Se observa que se cumple exactamente, es decir como una igualdad.
Esto indica que con esa decisión óptima se utiliza totalmente el monto máximo de presupuesto disponible para la compra.

Restricción 2: 0.5 (800) + 0.25 ( 1200) = 700
Se observa que se cumple exactamente, es decir como una igualdad. Esto indica que con esa decisión óptima se tendrá totalmente el monto máximo requerido de riesgo para la compra.

Restricción 3: 1 (800) = 800; 800 < 1.000 Se observa que se cumple como una desigualdad.
Esto indica que con esa decisión óptima se compran 800 acciones Tipo 1, 200 menos del monto
máximo requerido. Recuerde que eso está permitido debido que la restricción es “menor o igual a”.

En el gráfico puede observarse, como algo lógico, que las restricciones que se cumplen como igualdades están cruzando sobre el punto óptimo y las que se cumplen como desigualdades están en la región solución alejadas del punto óptimo.

FORMULACION DE UN MODELO LINEAL EJEMPLO 1.

Para realizar la construcción primero necesitamos la definición del problema :

Una empresa fabrica los productos A, B y C y puede vender todo lo que produzca a los siguientes precios: A, Bolívares 700, cada unidad; B, Bolívares 3.500; C, Bolívares 7.000.

Para poder producir estas unidades se requieren :

Para producir las unidades de A se necesitan:

1 hora de trabajo

2 horas de acabado

3 unidades de materia prima.

Para producir las unidades de B se necesita:

2 horas de trabajo

3 horas de acabado

2.5 unidades de materia prima.

Para producir las unidades de C necesita:

3 horas de trabajo

1 hora de acabado

4 unidades de materia prima.

Para este período de planificación están disponibles:

100 horas de trabajo 200 horas de acabado 600 unidades de materia prima.

Para formular y construir el modelo, se tiene lo siguiente:

a) Debe definirse claramente a las variables de decisión y expresarlas simbólicamente.

En la computadora y dependiendo del programa que utilice, dispondrá de un mayor espacio diseñado para escritura que puede utilizar para nombrarlas convencionalmente.

X1: unidades a producir de producto AX2: unidades a producir de producto B

Estos son insumos controlablesX3: unidades a producir de producto C

b) Debe Definirse claramente el objetivo y expresarse como función lineal.

Objetivo: Maximizar ingresos de venta

Max 700 Bs. X1 Unid de A + 3.500 X2 + 7.000 X3
Para las unidades de A

Escribir el objetivo de esta forma es expresar en unidades físicas uno de sus términos. Este término presenta la información específica de lo que contiene y permite confirmar la esencia física de lo que se está sumando y también que ello es consecuente con lo que se está obteniendo en el total de la ecuación; en este caso, ingreso en Bolívares.

c) Deben definirse las restricciones y expresarlas como funciones lineales.

Restricción 1: Disponibilidad limitada de horas de trabajo.

(1 hora de trabajo /unidad A) X1(unid. de producto A) + 2 X2 + 3 X3 <=100 horas de trabajo

Restricción 2: Horas de acabado disponibles en este período:

2X1 + (3 horas de acabado /unidad B)X2 (unid. de producto B) + 1 X3 <=200 horas de acabado

Restricción 3: Disponibilidad limitada de unidades de materia prima:

3X1 + 2.5 X2 + 4 (unid. de Materia prima/ unidad B) X3 (unid. de producto B) <=600 Unidades de Materia prima

De esta forma las restricciones están expresadas en unidades físicas. Se destaca en cada una de ellas alguno de sus términos, con indicación de lo que representa. Esto confirma que lo que se está sumando es consecuente con lo que se está obteniendo del lado derecho de la ecuación.

Finalmente, incorporando la restricción de no-negatividad de las variables de decisión, se resume así el modelo:

Max 700 X1 + 3.500 X2 + 7.000 X3

Sujeto a:

X1 + 2 X2 + 3 X3<=1002

X1 + 3 X2 + 1 X3 <=2003

X1 + 2.5 X2 + 4 X3<=600

X1, X2, X3 >=0

Hasta aquí el problema a quedado formulado ahora lo que proseguirá se darle una solución adecuada implementado un método como el simplex dual etc.